• tüm dünyada genellikle fizikçi olarak bilinse de aslında aynı zamanda çok sağlam bir matematik birikimine sahip olan richard feynman'ın 1965 yılında cornell üniversitesi'nde verdiği derslerden birinin konusudur.

    öncelikle dersin konusu olan matematik ve fiziğin farkını kendi yorumlarımla elimden geldiğince örneklendirerek açıklamaya çalışayım. yazının sonunda da ileri araştırma yapmak isteyenler için gerekli kaynaklarla birlikte feynman'ın dersinin bir linkini bırakayım.

    her şeyden önce şunu belirtmek gerekir.

    fizik sahip olduğu tüm gücü matematikten alır. matematikten bağımsız fizik hiçbir koşulda söz konusu bile değildir. çünkü zaten fizik dediğimiz şey, sınırsız matematik evrenlerinin içinde gezinerek bizim içinde yaşadığımız evreni anlayabilme çabasıdır.

    matematik ve fizik arasındaki farkı anlayabilmek için öncelikle matematik hakkında genellikle doğru sanılan bir yanlışı düzeltmemiz gerekir.

    insanlar genellikle matematik hakkında düşünürken matematiğin gerçek dünyayı açıklayan bir disiplin olduğunu, matematik denilen şeyi bizlerin dünyaya bakarak gördüğümüz örüntüleri açıklamak için geliştirdiğimizi ve bu sebepten matematiği sanki yeni bir kıta keşfedermişçesine keşfettiğimizi zannederler. ancak matematik gerçek dünyayla ilgili değil, aksine gerçek dünya matematikle ilgilidir.

    matematik aslında bizim hayal gücümüzde yarattığımız kavramların ve varsayımların tamamen mantık yoluyla irdeleme uğraşımızdır. bizlerin matematiği çevremize bakarak oluşturduğumuz doğrudur ancak matematikteki kavramlar gerçekliğin yansımaları değillerdir.

    örneğin matematikte daire ismini verdiğimiz bir nesne vardır ve bu nesne asla değişmeyen, tamamen kabule dayalı özelliklere sahiptir. çevremize baktığımızda daireye benzeyen yuvarlak şeyler görürüz ama aslında gördüğümüz o yuvarlak şeyler hiçbir zaman, ama hiçbir zaman kusursuz daireler değillerdir. matematiksel bir konsept olan daire, doğada mevcut değildir. bizler daire konseptini doğada gördüğümüz o yuvarlak şeylerden aldığımız ilham ile hayal gücümüzde yaratırız.

    peki doğada daire dediğimiz şey neden yoktur? nasıl olmaz?

    bunu anlayabilmek için daire kavramının tanımını çok iyi idrak edebilmek gerekir.

    daire, tek başına yaratabileceğimiz ve tanımlayabileceğimiz bir şey değildir. bir daire yaratabilmek için öncelikle nokta ve çizgi dediğimiz tamamen hayal ürünü kavramları tanımlamalı, daha sonra bu tanımlarla bir daire hayal etmenin mümkün olduğunu varsaymalıyız. matematikte bu hayal etme işine varsayım tanımlama denir. öncelikle bir şey hayal eder ve hiçbir kanıta ihtiyaç duymadan bu hayal ettiğimiz şeyin gerçek olduğunu kabul ederiz. bu kabulu yaptıktan sonra kurduğumuz hayali gerçek varsaydığımız durumlarda ne gibi sonuçlara varabileceğimizi görebilmek için mantık yürütür ve kendi belirlediğimiz aksiyomlar üzerinden teoremler inşa ederiz.

    şimdi matematikteki daireyi incelemek için bu hayal etme işini yaparak nokta ve çizgi dediğimiz şeyleri yaratmamız ve bu şeyler yardımıyla daire ismini vereceğimiz kavramı ortaya çıkarmamız gerek. bunu yapmamız çok da zor değil çünkü gelmiş geçmiş en zeki insanlardan biri olan ve günümüzde sahip olduğumuz geometri alanının babası kabul edilen öklid günümüzden yaklaşık 2300 sene önce elementler isimli eserinde bu işi yapmış.

    elementler 1. tanım: "nokta, hiçbir parçası olmayan şeydir"

    kitaptaki tanımlardan görsel

    yani basitçe nokta dediğimiz şey uzunluğu, genişliği ve derinliği olmayan, sonsuz küçüklükte bir şeydir. bu şey sonsuz küçüklükte olduğu için küçültülemez veya büyütülemez. aynı zamanda bu şey sonsuz küçüklükte olduğu için yer kaplamaz.

    günümüzde nokta kavramı her ne kadar çok sık kullandığımız ve bize basit gelen bir kavram olsa da aslında bu fikir inanılmaz derecede estetik bir fikirdir ve geometride kesinliğin mümkün olmasının en temel sebebidir. eğer nokta dediğimiz şeyi sonsuz küçüklükte ve yer kaplamayan bir kavram olarak hayal etmezsek sahip olduğumuz geometri tamamen çöker çünkü hiçbir zaman kesin değerlere sahip olamayız. bunun sebebi daire, üçgen gibi geometrik cisimlerin çizgilerden, çizgilerin ise noktalardan oluşmasıdır.

    daha iyi anlayabilmek için öklid'in çizgi tanımını da yapalım ve eğer nokta dediğimiz şey tam olarak bu şekilde tanımlanmasaydı ne olurdu ona bakalım.

    elementler 2. tanım: "bir çizgi, genişliği olmayan uzunluktur"

    elementler 3. tanım: "bir çizginin uçları noktalardır"

    elementler 4. tanım: "düz çizgiler, eşit biçimde dizilmiş noktalardan oluşur"

    (burada öklid'in düz çizgi dediği şeyi bir doğru parçası olarak hayal etmemek gerek. öklid kitabında modern matematikte eğri olarak bilinen çizgiler de dahil olmak üzere bütün çizgilerden düz çizgi olarak bahseder)

    şimdi çizgi dediğimiz şeyden şunu anladık:

    nokta diye bir şey var ve bu şey ene, boya ve uzunluğa sahip olmadığı için sonsuz küçüklüktedir. çizgi ise bu sonsuz küçüklükteki şeylerden oluşan, genişliği ve derinliği olmayan bir uzunluktur.

    e iyi de, uzunluğu olmayan sonsuz küçüklükte şeyleri kullanarak nasıl uzunluğu olan bir şey oluşturabiliriz? bu nasıl mümkün olabilir?

    işte olay tam da bu. matematikte biz bir şeylere var ol deriz ve o şeyler var olur. mesela ali nesin de kümeler için bunu söyler. tıpkı kümelere var ol dememiz ve onların da var olmaları gibi, çizgi dediğimiz şeylere de var ol deriz ve olurlar. biz matematikte hiçbir mantıklı açıklamaya ihtiyaç duymadan noktalardan oluşmuş bir uzunluğun var olduğunu kabul edebilir ve tamamen öylesi işimize geldiği için o şekilde hayal ettiğimiz bu varlıklarla mantıksal çıkarımlar yapabiliriz.

    ali nesin'in kitabından kümeleri "var ol" diyerek yarattığımız bir kesit: sayıların inşası

    şimdi nokta dediğimiz şeyin özellikle genişliği ve uzunluğu olmayan sonsuz küçüklükte bir cisim olarak tanımlanmadığı bir matematik sistemi hayal edelim ve bu durumun ne gibi sonuçlara sebep olacağına bakalım.

    mahmut çizgisi ve hüso çizgisi isminde iki çizginin kesişimi ile oluşmuş bir açı hayal edelim ve o açıyı cabbar çizgisi ile ikiye bölelim: görsel

    görseldeki mahmut ve hüso çizigilerinin oluşturduğu açı toplamda a+b açılarıdır. yani mesela toplam açıya c açısı dersek, bu durumda c = a+b eşitliğine sahip oluruz.

    ancak c = a+b eşitliğine sahip olabilmemizin sebebi bizim çizgileri genişliği olmayan şeyler olarak hayal etmemizdir. eğer ki biz bir çizgiyi genişliği olmayan şey olarak hayal etmez de çizgilerin bir genişliği olabileceğini kabul edersek o zaman c açısı a+b açısına eşit olmaz.

    bu durumda bizim toplam açıyı bulabilmek için c = a+b + cabbar çizgisinin genişliği denklemini kullanmamız gerekir ancak cabbar çizgisinin genişliği nedir ki? 3 müdür? 5 midir? a mıdır? b midir? her zaman aynı mıdır yoksa değişken midir? cabbar çizgisinin bir genişliği olabileceğini varsaymak bizleri kesin sonuçlar alamayacağımız veya kesin sonuçlar alabilmek için çok daha uzun ve karmaşık tanımlamalar yapmak zorunda kalacağımız bir sisteme götürür ve işimize yaramaz. bu sebepten biz bütün bu problemleri çizgi dediğimiz şeyi aslında gerçek hayatta, yani doğada bulamayacağımız genişliği ve derinliği olmayan bir uzunluk olarak tanımlar ve sorunları kökten çözeriz.

    şimdi daire dediğimiz şeyi düşünelim.

    daire, merkez noktasından sınırlarına çizilen tüm uzunlukların eşit olduğu bir geometrik cisimdir. merkez noktasından çizilen bu uzunluğa yarıçap denir ve tüm dairelerde merkezden dairenin herhangi bir sınırına çizilen yarıçap uzunlukları o daire özelinde sabittir.

    daireler

    şimdi düşünelim.

    daire dediğimiz şey sınırı genişliği olmayan bir çizgiden oluşmuş, merkezinden sınıra çizilecek tüm, ama tüm uzunlukların istisnasız bir biçimde birbirine denk olduğu geometrik cisimdir. zaten bu uzunlukların birbirlerine eşit olabilmelerinin sebebi, bu uzunlukları, yani yarıçapları oluşturan çizgiler ile sınırı oluşturan çizginin genişliğe sahip olmamasıdır.

    peki doğada genişliğe ve derinliğe sahip olmayan bir şey var mıdır? örneğin bir baskı makinesinden çıkardığımız kusursuz gibi görünen daireye tüm atomlarını görebilecek kadar yakından bakıp merkezden sınırlara çizgiler çekmeye çalışsak bu çizgilerin her birinin sınıra uzaklığı eş olur mu? doğada gerçekten de daire diye bir şey var mı?

    cornell mellon üniversitesi: doğada neden mükemmel daire bulunmaz

    yani aslında matematikte var olan kavramlar aslında bizim kurallarını ve özelliklerini hayal dünyamızda tamamen kendi keyfimize göre belirlediğimiz ve doğada bulunmayan kavramlardır. bu kavramlarla nasıl mantık yürüteceğimize bile aksiyomlar tanımlayarak canımızın istediği ve sağduyumuza uygun bulduğumuz şekilde karar veririz. matematik dünyasında hayal edebileceğimiz ve inceleyebileceğimiz şeyler sınırsızdır. bir kural zorunluluğu yoktur ve sonsuz evrenler içinde biz istediğimiz kuralları seçerek kendi sonuçlarımıza varabiliriz. platon'un idealar evreni dediği şey aslında matematiksel evrenlerdir ve matematikle ilgisi olmayan çoğu felsefeci bunu yanlış yorumlar.

    platon, 2 farklı evren olduğunu ve bu evrenlerden birinin içinde yaşadığımız çarpık evren, diğerinin ise her şeyin kusursuz olduğu idealar evreni olduğunu söyler. bu düşünceyi anlatmak için mağara alegorisi isminde bir benzetme kullanır. bu benzetmeye göre bizler bir mağaranın içinde sırtını mağaranın girişine dönmüş insanlarız ve mağaranın içinde görebildiğimiz tek şey dışarıdan gelen ışığın mağara duvarına yansıttığı gölgelerdir. bizler gerçekliği bu gölgeler olarak algılarız ancak gölgeler aslında ışığın, ışığı kesen cismin ışığın ulaşamadığı yerlerde ortaya çıkan çarpık bir yansımasından ibarettir. platon'a göre yapmamız gereken şey mağaranın duvarına bakmayı bırakıp yüzümüzü ışığa çevirmek ve asıl gerçekliği görmeye çalışmaktır.

    matematikle ilgisi olmayan felsefeciler idealar evreni konseptini çok yanlış yorumlar ve platon'un bundan binlerce yıl önce sahip olduğu inanılmaz vizyonu idrak etmekte güçlük çekerler. çünkü aslında platon bir matematikçidir ve idealar evreni dediği şey de matematik evreninden ibarettir. platon gerçekliği görmenin yolu idealar evreninden geçer ve bizim içinde bulunduğumuz evrende gördüğümüz şeyler idealar evreninin çarpık yansımalarıdır derken aslında matematiksel ve fiziksel gerçekliğin farkından bahsetmektedir. örneğin biz bir duvar saatine bakar ve onu bir daire olarak algılarız ama aslında o saat bir daire değil, bizim daireye benzettiğimiz çarpık şekle sahip bir cisimdir. daire dediğimiz şey içinde bulunduğumuz dünyada değil, idealar evreninde mevcuttur ve eğer biz saati anlamak istiyorsak bunu yapmamızın yolu saati anlamaya çalışmaktan değil, daire dediğimiz şeyi anlamaya çalışmaktan, yani matematikten geçer. platon'un okulunun kapısında geometri bilmeyen buraya giremez yazmasının sebebi tam olarak budur.

    özetle matematik sınırsız ve kuralsız evrenlerin bütününü, yani idealar evrenini anlamaya çalışmak, fizik ise içinde bulunduğumuz dünyadaki varlıkları matematikte hayal ederek var ettiğimiz o kusursuz nesnelere benzeterek anlamaya çalışma çabasıdır.

    yani matematikte var olan şeyleri biz yaratıp kendi belirlediğimiz kurallarla yarattığımız bu şeylerin özelliklerini incelerken fizikte sadece gözümüzün önünde var olan şeyleri gözlemlemeye çalışırız. mesela daire dediğimiz şey biz istedik diye vardır ama elektron dediğimiz şey biz elektron var olsun istediğimiz için var olmamıştır. elektron zaten vardır ve biz onun özelliklerini anlamaya çalışırız. kurallar bellidir ve bizim amacımız onları keşfetmektir. tüm olay bundan ibaret.

    ileri okuma ve bazı kaynaklar:

    feynman'ın ders videosu

    stanford üniversitesi idealar evreni ve matematik

    matematiğin temelleri kavgası, kümeler ve biraz daha platon

    numberphile matematik ile fizik karşılaştırma videosu
7 entry daha
hesabın var mı? giriş yap