gödel teoremleri ^*

• en ünlüsü gödel'in eksiklik kuramıdır. (incompleteness theorem) "her aksiyomatik sistemde belirsiz öneriler bulunur veya sistem bütün değildir"
• bir diger aciklamasi sistemdeki her dogru teorem kanitlanamaz. tabii bu durumda kanitlanmadigi icin dogru ya da yanlis olduklari da bilinemez.
• (bkz: incompleteness theorem)
• godel teoreminin 2 onemli yansimasi vardir:
  
  birincisi: godel su anda kullandigimiz sayisal axiomatic sisteminin de incomplete oldugunu kanitlamistir.
  yani bildigimiz matematik sisteminde de dogru olan ama kanitlanamayacak teoremler oldugu godel tarafindan kanitlanmistir. belki goldbach hipotezide kanitlanamayan ama dogru teoremlerdendir.
  
  ikincisi ve belki daha onemli bir uzantisi ise computability uzerinedir. matematik sisteminin "eksik" (incomplete) olmasi nedeniyle matematik sistemine dayanan herseyin de finite zamanda hesaplanabilir olmamasi gercegi cikar. (benzer bir durum ichin (bkz: np complete)). hesaplanabilirligini limitli olmasi ise kimilerine gore yapay zekaya ya da herseyin simule edilebilirligine karsi gosterilebilecek bir kanittir, tabii orasi tartismalidir. ama insan ruhunun hatta kimi biyolojik olaylarin hesaplanabilir olmayabilecegine dair teoriler vardir ortalikta.
• bir seviyeden daha karmaşık olan her tutarlı formel sistem için ispatlanamayan ama doğru olan bir takım önermeler vardır."
• böylesine zeki insanların, kurdukları formal sistemlerin ya eksik ya da tutarsız olduğunu farkedip de kendi zekalarından değil de kainatın hesaplanabilirliğinden şüphelenmeleri hep enteresan görünmüştür bana.
  
  - abi incompleteness theorem diye bir mevzu var, aksiyomatik sistemler ya tutarsız ya da eksik olur diyorlar.
  - aksiyomatik sistemleri boşverin o zaman!
• bilgi eksikligi durumunda kafa karisikligina yol acabilirler. teoremlerden birisinin adi completeness theorem digerinin adi incompleteness theoremdir, fakat isimlerinin cagristirdigi uzre birbirine zit seyler soylemezler. her ikisi de onemli teoremler olmakla beraber daha cok bilineni "incompleteness theorem"dir.
  
  zamaninda cok uzulmustum hoca derste "completeness theorem"i kanitladi, bir de "incompleteness theorem" var nasil olacak bu isler diye.
• klasik öklit geometrisini ters yüz etmiştir. örneğin gödel'e göre üçgenin iç açıları toplamı üçgenine göre değişir. dış bükey üçgen180 dereceden fazla; iç bükey üçgense 180 dereceden azdır.
• 31 yillik hayatimda gozlemledigim kadariyla, bir sekilde bu teoremleri okumus etmis ya da bir yerden duymus kimselerin en cok yanlis yorumladigi sonuclardan birisidir bence. hatta bence en cok yanlis anlasilan sonuclardir. oyle ki bu teoremleri yanlis yorumlayan matematik doktora ogrencileri de gorulmustur.
  
  isin aslina gelecek olursak, teoremlerin dedikleri kisaca soyle. simdi hocam godel'in eksiklik teoremleri diye iki tane teorem var. birinci eksiklik teoremi sunu diyor kabaca:
  
  "basit aritmetik islemleri ifade etmeye yeterli bir teori/sistem hem tutarli hem eksiksiz olamaz. eger basit aritmetik gercekleri kanitlamaya yeterli tam bir teori varsa, bu teoride dogru olan ancak dogrulugu kanitlanamayan onermeler vardir"
  
  burada gecen onermelere godel onermeleri diyorlar. godel'in ikinci eksiklik teoremi de sunu diyor kabaca:
  
  "yine yukaridaki gibi bir teorinin tamligini(=completeness) teorinin icinde kanitlayamayiz. bir baska deyisle bunu yapabiliyorsak teori eksiktir."
  
  simdi gelelim benim en cok karsilastigim yanlis yorumlamaya. bu sonuclar kanitlandiktan sonra matematikcilerin siki tuttugu, butun matematigin bastan yazildigi falan gibi yorumlar okudum/duydum hep. ancak teoremlerin bahsettigi seylerin matematikcilerin binlerce yildir kanitladiklari teoremlerle alakasi yok. godel teoremleri (bir nevi) kanitlanamayan onermelerle ilgil.
  
  mesela hemen soyleyeyim, continuum hipotezinin su an kullandigimiz sistemlerde (mesela zermelo-fraenkel + secim aksiyomu kisaca zfc) dogru veya yanlis oldugunu kanitlayamiyoruz. ancak su da var ki, continuum hipotezinin zfc'yi baglamadigini biliyoruz. yani oyle ki, continuum dogru da olsa yanlis da olsa bizim su an elimizde olan sonuclar tutarliligini/dogrulugunu koruyacak.
  
  iste bu yuzdendir ki, godel'in teoremleri bir cok "working mathematician" icin bir sey ifade etmiyor. oyle ki, benim okudugum matematik bolumunde godel teoremleri mufredatta yoktu. olsa fena mi olurdu? hayir tabi ama olmadan da oluyor iste. godel teoremleri en cok kimi etkiledi peki? bence en cok hilbert'e koymustur. eger mantikla, ya da ozel olarak continuum'u ya da baska bir godel onermesini merkezine koyan bir teoriyle ugrasmiyorsaniz, godel teoremleri sizi de baglamayabilir buyuk ihtimalle.
• russell ve whitehead gibi matematiğin tüm teoremlerinin bazı aksiyomlar ve mantık kuralları ile ispatlanabileceğini düşünenleri üzmüş teoremlerdir.
  nitekim gödel, eksiklik teoremleri ile basit aritmetik işlemlerin yapılabilmesine olanak veren her aksiyomatik sistemde, doğru olan ama doğru olduğu ispatlanamayan önermelerin var olduğunu ispatlamıştır. bu önermeleri aksiyom olarak sistemimize eklesek de, sonuçta yine sonlu sayıda aksiyomumuz olacaktır ve bu sistemde de aynı şekilde doğru olan ama doğru olduğu ispatlanamayan önermeler bulunacaktır.
  
  2001 yılında tufan taşkesen'in bu konuda yazdığı "gödel'in aksiyomatik sistemlerin tam olmamasına dair teoremi ve paradokslar" başlıklı yüksek lisans tezinin, ilgilenenlere büyük faydası dokunacaktır. yök ulusal tez merkezinden ulaşılabilir.
  
  edit: yazıyı değiştirmiyorum, ama düzenleme olarak belirtmek isterim; neden "sonlu sayıda aksiyom" ibaresini kullandığımı bilmiyorum. eksiklik teoremlerinin geçerli olması için toplama ve çarpma işlemlerinin yapılabildiği (peano aritmetiği veya benzeri) bir sistem olması yeterli. yani yazının bir kısmının şu şekilde değiştirilmesi gerekiyor: "... bu önermeleri aksiyom olarak sistemimize eklesek bile sonuçta yine toplama ve çarpma işlemleri yapılabileceğinden (peano aritmetiği veya benzeri), yeni elde edilen sistemde de doğru olan ama aksiyomlardan çıkarılamayan önermeler gödel'in yöntemi ile bulunabilir. dolayısıyla peano aritmetiğini içeren bir sistem "tam" değildir ve aksiyom eklenerek "tam" yapılamaz.