• boğaziçi üniversitesi matematik bölümü öğretim üyesi doç. dr. cem yalçın yıldırım'ın abd'li matematikçi dan goldston ile birlikte yürüttüğü çalışmalarda sayılar teorisi için çok önemli bir gelişmeye ulaşıldı. söz konusu gelişmede birbirlerine göreceli olarak çok yakın ardışık asal sayılardan oluşan ve sonsuza dek uzanan dizilerin varlığı ispatlandı. böylelikle yüzyıllardır üzerinde çalışılan ikiz asallar problemine ilişkin büyük bir ilerleme kaydedildi. ayrıntılı bilgi için;

    http://aimath.org/

    ve

    http://www.bayarea.com/…news/news/local/5483833.htm

    adreslerine bakılabilir.
  • bölünebilirlik, modüler aritmetik, asal sayılar gibi temel matematik konularının kuramsal olarak ele alındığı matematik dalı.
  • son zamanlarda bazı mecburiyetlerden ötürü matematikle fazlaca ilgilenmek zorunda kaldım ve görünen o ki bu devam edeceğe benziyor. ispat mekanizmalarının ve metotlarının insana zihinsel anlamda çok ciddi idman sağlaması bir yana dünyayı ve varlığı algılamada çok değişik kapılar açıyor matematik.

    mesela şu aralar sayılar üzerinde kendimce garip garip düşünceler üretmeye başladım. nereden esinlendim tam olarak bilmiyorum ama muhtemelen bunun üzerinde kafa yorulmuş olabileceğini de kestiriyorum. matematikle felsefenin başlangıçlarında bazı ortak durumlar söz konusu zaten, şu kem ilmimle ilgi alanlarında da en azından bir kesişim olduğunu iddia edebilirim ayrıca.

    sayıların nasıl ortaya çıktığı hakkında tarihsel olarak net bir fikrim yok ama bunu öğrenmek çok zor bir şey olmasa gerek şu anda. yapmak istediğim bu işin tarihçesini vermek veya eski filozofların bu konu üzerine ettikleri kelamları burada ifade etmekten ziyade sayıların evrende nasıl bir anlam düzlemine oturduklarına ilişkin bir deneme teşebbüsü şeklinde ifade edebilir. ancak bu önceki işin de çok faydalı bir şey olacağını herkesin mutlu mesut bundan istifade edeceğini de ayrıca belirtmek isterim.

    gelelim esas meseleye. görünen o ki evrende sayılar en tabi, sayılabilecek halleriyle bulunuyorlar. yani biz aslında yalnızca sayılabilecek şeyler üzerinde bir tasarruf sahibiyiz, yalnızca sayılabilecek sayıları algılıyoruz. bunu ise matematikte doğal sayılar diye ifade ediyoruz. burada yöneltilebilecek en esaslı itiraz 0’ın konumuyla alakalı. çünkü 0 sayılabilecek bir miktar veya ölçüt belirtmiyor. o yüzden “sayma sayıları” diye ilk ve orta öğretim hayatı boyunca hep söylediğimiz gerçekte var olup olmadığını cidden merak ettiğim sayı kümesi içinde 0 bulunmuyor. sayılabilecek bir konumda olmayan bir şeyin doğallığından da söz edemeyiz tabi. şükür ki çoğu matematikçiye göre 0 doğal sayılardan kabul edilmiyor. yalnız bu 0 meselesini yine de tam olarak çözdüğümüz anlamına gelmiyor. 0 ileride yine başımıza iş açacak.

    insanın algılama mekanizması tabiatın devir daim mekanizması gibi çalışıyor, o yüzden biz sayıları da en tabi halleriyle anlıyor ve bu anladıklarımıza doğal sayılar diyoruz. diğer bütün ne varsa sayılar namına aslında, doğal yollardan açıklıyoruz onları, hepsini doğal sayılara bağlıyoruz. çok bilinenlerden örnek verelim mesela:

    doğal sayılar kavramını hemen tam sayılar takip ediyor ve pozitif-negatif diye 2’ye ayrılıyor tam sayılar. pozitif tam sayılar mevcut varsayımımıza göre doğal sayılarla aynı kümeyi oluşturuyor. tabi burada herkesin küme tanımından haberdar olduğunu öngörüyorum. negatif tam sayılara gelince bunun sadece meşhur bir işaret katakullisi olduğunu iddia edebiliriz. öyle ya sayı olarak varlığını bildiğimiz her elemanın eksilisinin de var olduğunu söylüyor negatif sayı kümesi. halbuki bizim algımızda eksiye karşılık gelecek somut bir şey yok, tamamıyla bağıl bir mesele bu. bir insanın borcu olması matematiksel olarak negatif sayılarla ifade edilirken gerçekte adamın cebinde eksi bir para mevcut olmuyor. zaten izafi olduğu için hep pozitifiyle de ifade edebiliyoruz negatif sayıları. yani iş tahterevallinin iki ucu kadar basit. bundan dolayı bizim ilgi alanımız bardağın dolu tarafı olacak geri kalan kısımda. diğeri zaten kendiliğinden ortaya çıkıyor ne de olsa.

    rasyonel sayılarla beraber işlerimiz karışmaya başlıyor. çünkü bu da böyle bir palavradır deyu işin içinden çıkamıyoruz. yardımcı öğelere ihtiyacımız var. rasyonel sayılardaki temel espri belli miktar bir şeyin belli eleman arasında bölüştürülmesiyle açıklanabilir. yani elimizde doğal bir miktar ürün ve doğal bir ölçüde bu ürünün taliplisi var. ve bu bölüşüm basit bir aritmetik operasyonla (bölme) yapılıyor.

    burada aritmetik operasyonlara da bir parantez açsak iyi olur kanaatindeyim. temel olarak 4 tane aritmetik işlem var diyoruz. diğer bütün işlemler bu 4’ü cinsinden yazılabilir anlamına geliyor bu. -herhangi bir işlem üzerinde bu iddia test edilebilir her zaman 4 temel işleme indirgenecektir- dahası 4 temel işlem de sadece toplama üzerinden anlaşılabilir durumda, aynen şöyle:

    çıkarma: toplamanın tersi yani negatifiyle toplama işlemi yapma. daha önce de dediğimiz gibi tamamıyla bağıl bir olay.

    çarpma: toplamanın özelleşmiş hali. kaç tane birimin sıralı bir şekilde toplanması gerektiğini söylüyor.

    bölme: çarpmanın tersi, yalnız bunu tanımlayabilmek için rasyonel sayıların varlığını kabul etmek gerekiyor. ama en nihayetinde çarpma-çıkarma yolundan yine toplama işlemine ulaşıyor.

    bütün işlemlerin toplamadan geldiğini gösterdik, iş bununla da kalmıyor fakat. toplamaya baktığımızda bu işlemin de hala sadeleşebilir olduğunu görüyoruz. çünkü toplama işlemi bir miktara belirli defa 1’er miktar eklemekten oluşuyor. yani bir sayıya ulaşabilmek için elimizdeki sayıya 1 ekleyerek ilerliyoruz. bu son cümle daha sonra da lazım olacak.

    sayı namına şimdiye kadar elde ettiklerimizi bir tekrarlayalım.

    lemma1: aslında somut olarak var olan tek sayı kümesi doğal sayıdır. 0 genel olarak doğal sayı kümesinde yer almaz.

    lemma2: doğal sayılar aynı zamanda pozitif tamsayılar kümesiyle de ifade edilebilir. bunun negatif karşılığı gerçekte var olmayan izafi bir durumu ifade eder. bu durum bundan sonraki bütün pozitif-negatif çiftleri için de geçerlidir.

    lemma3: doğadaki en temel kanunlardan biri olan bölüşme (taksim) talebi neticesinde rasyonel sayılar ortaya çıkar. doğal olan bütünler bölüştürülür ve o doğala göre rasyonel parçalar ortaya çıkar.

    lemma4: bu 3 sayı kümesi ışığında tüm işlemler sırasıyla 4 temel işlem, toplama işlemi ve 1 ekleme işlemine indirgenir.

    artık yolun sonuna geldik, elimizde tüm işlemler ve buna ek olarak 2 sayı kümesi var: tam sayılar ve rasyonel sayılar. irrasyonel sayılara bu eldekiler kullanılarak ulaşmak oldukça kolaydır, sadece sabır lazımdır. bu bizi reel sayılara götürür. karmaşık sayılar ise tamamıyla hayal mahsulüdür. (bakınız imaginarynin i’si)

    bütün bu mekanizmayı tersinden yürütürsek yani tüme varmaya çalışırsak elimizde 1 ekleme(çıkarma) işlemi ve doğal sayılar kalır. ve daha önce de dediğimiz gibi bir sayıya ulaşmanın en temel yolu elimizdeki sayıya 1 eklemektir. baştan başlamak gerekli olduğu için sayı doğrusundaki pozisyon önemini yitirir. çünkü 1 çıkarılarak ulaşılan her şeye başka yerden başlayınca 1 eklenerek de ulaşılabilmektedir. bu sebeple her şey 1 ekleme ve onun başlangıcı olan 1 sayısına kilitlenir. ve diyebiliriz ki 1 varsa 2 hayati bağıl aksiyom (negatifi olma, paylaşım) ışığında yalnızca 1 ekleme operasyonu ile bütün sayılar elde edilebilir.

    ama olay 1’in varlığında öteye gidememektedir. işte burada 0 devreye girer, 0’a 1 eklenince 1 elde edilmektedir. problem şudur ki 0 doğal sayılar kümesinin elemanı değildir ve bu operasyon doğal sayılar içinde geçersizdir. işte burada sayılar tıkanır, matematiğin aslı mantık devreye girer. her şey aslında 1 (bir)’dir ve 1 (bir)’den meydana gelmiştir. peki 0 (sıfır) nedir, 1 (bir) olmamaktır, totolojinin değili olmaktır, çelişki olmaktır. ve bu yüzden 1 (bir)’in anlamıdır, 1 (bir)’e anlam sağlayandır. bir nevi dualdir, aynı sonucu veren bir diğer yoldur. bir sayının var olması için sayı olmama durumunun -0 (sıfır) olma- var olması gerekir yani.

    not: bu yazıyı birbirinden 3 ay kadar ayrı 2 oturuşta yazdım ve kendi muhakemem haricinde herhangi bir yardımcı kaynak kullanmadım. bir kaç gün kadar önce bu konu üzerinde bir alıntı dikkatimi çarptı (bkz: peano aksiyomları) ve aslında çok benzer şeyleri düşündüğümüzü fark ettim. kendimce yaptığım ispatın bazı kısımlarının sakat veya en azından iyi desteklenmemiş olduğunun farkındayım. bu sebeple de yapıcı her eleştiriye açığım.
  • yabancı kaynaklarda veya ingilizce eğitim veren kurumlarda (bkz: number theory) diye geçer.
  • (bkz: allah'ın varlığının kanıtları/@oldhand raider)
  • (bkz: devlet bahçeli)
  • sayilar teorisinde cozulmemis birkac problem icin

    (bkz: goldbach problemi)
    (bkz: tek mükemmel sayı problemi)
    (bkz: ulam problemi)
    (bkz: asal sayılar çifti ile ilgili problem)
  • bende, sözlükte bu konuda bilgili ve konuyla ilgili kimselerle tanışıp, söyleşme isteği uyandıran başlık. yok mu özellikle analitik sayılar kuramıyla ilgilenen? yeşillendiriverin.
  • diğer adı aritmetiktir. tam sayıları ve onların arasındaki işlemleri ele alan bir matematik alanıdır.
  • #72620997
hesabın var mı? giriş yap