hesabın var mı? giriş yap

  • matematik öğrenmeye ilk başladığım zamanlar bir ali nesin kitabında görüp ilk başta anlamlandıramadığım, ancak zamanla matematik tecrübemin artmasıyla kafamda mantıklı bir zemine oturtabildiğim matematik sorusudur.

    bu soruyu ilk gördüğümde bir arkadaşıma göstermiş, üzerine saatlerce düşünüp tartışmış, bir süre sonra cevabı konusunda fikir ayrılığına düşüp birbirimize kırıcı cümleler sarf etmiş ve sonunda kavga etmiştik. biriyle kavga etmeme sebep olan ilk matematik sorusu bu olduğundan gönlümde yeri başkadır.

    sorunun sınırları belli olan sonsuz bir zaman dilimi içermesi bile sonsuzluk kavramına aşina olmayanlar için başlı başına kafa karıştırıcı olması bir yana, sorunun cevabı genellikle insanın sağduyusuna ters olduğu için kişide epey kafa açıcı bir etki bırakır.

    soruyu ve cevabını yazmadan önce sorunun cevabının sebebini anlayabilmek için okuyucuları sonsuzluk kavramıyla ilgili olan şu iki girdiye göz atmalarını tavsiye ediyorum:

    sonsuzluk oteli

    hangi sonsuzluklar birbirine eşittir

    bu girdileri direkt okumasanız bile cevabı zihninizde mantıklı bir zemine oturtamadığınız takdirde geri dönüp okumanızı tavsiye ederim.

    sorumuz şu şekilde:

    boş bir odamız ve bu odanın da açık bir penceresi var. odanın dışında mahmut, içinde ise hüso bulunmakta. saat tam olarak 11:59. yani 12'ye 1 dakika var. mahmut'un yanında her biri 1,2,3,4... şeklinde numaralandırılmış sonsuz adet top var.

    mahmut bu 1 ve 2 numaralı topları saatin 12 olması için kalan süre olan 1 dakikanın 1/2 miktarı süresinde, yani yarım dakikada odanın içine atıyor ve hüso da bu toplardan 1 numaralı olanı anında pencereden dışarı atıyor.

    daha sonra mahmut 1 dakikanın 1/4 miktarı sürede hüso'nun olduğu odaya 3 ve 4 numaralı topları fırlatıyor ve hüso hiç zaman kaybetmeden pencereden 2 numaralı topu atıyor.

    bu işlem mahmut'un 1/8 dakikada 5 ve 6 topları atarken hüso'nun 3 numaralı topu dışarı atması, mahmut'un 1/16 dakikada 7 ve 8 numaralı topları atarken hüso'nun 4 numaralı topu dışarı atması şeklinde sonsuza dek devam ediyor.

    saat 12 olduğunda odada kaç top vardır?

    bu soruya ilk görüşte cevap veren biri büyük olasılıkla "odada sonsuz top vardır çünkü hüso'nun dışarı attığı her top için mahmut odaya iki top atmıştır, böylelikle mahmut'un her topu dışarı atması mümkün değildir" şeklinde cevap verecektir.

    bu cevap doğru değil.

    saat tam 12 olduğunda odanın içinde 0 top bulunur.

    peki nasıl?

    ali nesin kitabında bu soruyu kümeler teorisi kullanarak matematiksel notasyonla yaptığı işlemler vasıtasıyla cevaplıyor ancak benim niyetim bu değil. ben bu sorunun hiçbir işlem yapılmadan sadece sezgisel olarak anlaşılmasını sağlayabilmek için çaba sarf edeceğim. ancak yine de yazının sonunda işlem yoluyla çözümünü görmek isteyenler için kitabın bir linkini de bırakacağım.

    şimdi düşünelim.

    bu soruya iki farklı yaklaşım biçimi var:

    1- odaya atılan toplar üzerine düşünmek.
    2- odadan dışarı atılan toplar üzerine düşünmek.

    biz birinci yolu kullandığımızda odaya atılan top sayısı odadan dışarı atılan top sayısından fazla olduğu için ne olursa olsun odada top bulunacağı fikrine vararak hataya düşmüş oluyoruz. zaten sonsuzluğun güzel tarafı da bizi bu tür hatalara düşürme imkanının sonsuz olması.*

    ikinci yolu kullandığımızda ise atılan toplara odaklanacağımızdan saat 12 olduğunda odadan atılmamış hiçbir top bulamayacağımızı, dolayısıyla odanın içinde toplam 0 top olabileceğini fark ederiz.

    nasıl?

    diyelim ki saat 12 ve biz odada 0'dan fazla miktarda top olduğunu kanıtlamak istiyoruz. bunun için sonsuz top saymamıza gerek yok. odanın içinde yalnızca bir top olsa bile odanın içinde 0 top olmadığı sonucuna varmış olur ve 0 top sonucumuzu çöpe atmış oluruz.

    sorunun başında çaktırmadan her topun numaralandırılmış olduğu bilgisini vermiştik. şimdi ise odanın içinde bir top bulmak istiyoruz.

    mahmut'un odaya attığı topların her birinin bir numarası olduğundan, eğer odanın içinde bir top varsa, bu topun numarası kaçtır?

    yani özetle, eğer biz bu odanın içinde bulunan herhangi bir topun ismini verip "şu numaralı top odada bulunur" diyebilirsek odanın içinde 0 top olmadığını, eğer bunu yapamazsak da odanın içinde 0 top olduğunu kanıtlamış oluruz.

    düşünmeye devam edelim.

    1/2 zamanda 1 ve 2 toplarını içeri atmıştık ama hüso 1 numaralı topu dışarı atmıştı. bu durumda odanın içinde 1 numaralı topun var olmadığını kesin olarak söyleyebiliriz.

    1/4 zamanda 3 ve 4 numaralı topları atmıştık ama hüso 2 numaralı topu dışarı atmıştı, bu durumda 2 numaralı topun da odada var olmadığını kesin olarak söyleyebiliriz.

    3 numaralı top için 1/8 zaman dilimini, yani 3. turu, 4 numaralı top için 1/16 zaman dilimini, yani 4. turu 5 numaralı top için 1/32 numaralı zaman dilimini yani 5. turu gösterebiliriz. böylelikle 1,2,3,4 ve 5 olmadığını da biliyoruz.

    buradaki örüntüyü fark eden olmuştur.

    biz diyelim ki odanın içinde x numaralı topu arıyoruz. bu durumda biz kesin olarak bu x numaralı topun odadan dışarı 1/2^x zaman dilimine denk gelen turda atıldığını biliriz.

    11:59 ile 12:00 arasındaki 1 dakikayı matematiksel açıdan sonsuza dek bölebileceğimizden, 1/2^x sayısındaki 2^x değeri için hiçbir sınırımız yoktur. yani biz içeri her ne kadar tüm turlarda içeriden dışarı atılan top sayısının bir fazlasını içeri atıyor olsak da içeri alınan top sayısı da dışarı atılan top sayısı da sayılabilir sonsuzluk değerlerine sahip olduğu için birbirine eşit olacaktır.

    yani içeri sonsuz top atılırken dışarı da sonsuz top çıkacağından ve her iki sonsuzluk da sayılabilir sonsuzluklar olacağından, saat 12:00 olduğunda içeri atılan top sayısı ile dışarı atılan top sayısı eşit olacaktır.

    bu olay tıpkı yukarıda linkini bıraktığım yazılardaki sonsuzluk oteli durumuna ve sayılabilir sonsuzlukların eşlendiği ikinci yazıdaki cantor durumuna benzer.

    olayı zihninde oturtamayanlara tekrar yukarıdaki yazıları okumalarını tavsiye ederim.

    sorunun geçtiği kitap linki: matematik ve gerçek sayfa 29

    (bkz: matematik ve gerçek)

  • bizim angutlar başlayacaktır ama biz islam alemi olarak çok ezildxfsvdfwsfvs.. ülke içinde kurdukları sosyal adalete bak sen. devlet, alamancı dayımı arıyor ve diyor ki 5 sene önce yaptığınız vergi ödemesinde sizden 2 euro fazla kesinti yapıldığını tespit ettik, lütfen 2 euronuzu almaya gelin. ki benim dayımlar entegre olmayan, olmak istemeyen, zar zor almanca konuşan insanlar üstelik. senin siyasetçin napıyor, o 2 euronu da alırım, paranı da çalarım, ağzına da sıçarım, yiyosa git hakkını da ara bakalım.

  • şu başlık okuyunca görülüyor ki videoyu izleyip imrenen kadar beğenmeyen ve kötüleyen de var. yazarlardan biri danışıklı dövüş yazmış. ilginç geldi.

    danışıklı dövüş'ün anlamı, ortada bir anlaşma olduğu halde yokmuş gibi davranmak ve insanları kandırmak. yani böyle konuşuyorlar videoda ama, anlaşmışlar. kimi kandırmak için? belli değil. türkiye gibi sivil ve bireysel özgürlüklerle alakası olmayan ülke vatandaşlarına "bak biz çok özgürüz, siz değilsiniz" mesajını vermek için? danışıklı dövüş olduğunu yazan kişinin söylediği bu. özgür olmalarıyla ilgisi yok, öyleymiş gibi davranıyorlar.

    kafalar ilginç.

    obama ile sözünü kesen arasında bir anlaşma olduğu doğrudur. aralarında bir kontrat vardır. o kontrata göre her ikisi de düşüncelerini özgürce ifade edebilirler ve bu özgürlükleri anayasa maddesi ile garanti altındadır. obama konuşurken sözünü kesen kişi bu kontrata güvenerek konuşmaktadır. obama da kontratın taraflarından biridir.

    abd'de de olmuyor mu bu tip bireysel özgürlüklerin kimi zaman kısıtlandığı durumlar? pekala oluyor. ülkenin ve sisteminin vizyonu şudur: abd özgürlükler ülkesidir ve bu vizyonu oluşturan, vizyonlarına sahip çıkan amerikan halkıdır. özgürlüklerin kısıtlandığı durumların artmasını ve normlaştırılmasını hiç istemezler. o yüzden ekranda sözü kesilen başkanları medeni davranır.

    sivil ve bireysel özgürlüklerden haberi olmayan kişilere sorsan tabi danışıklı dövüş. yalandan da olsa şunu biz de görelim demiyor da danışıklı dövüş diyor. bildiğin köle.

  • 6. yüzyılda inşaa edildiği vakit en büyük kilise olan yapı. kubbesi o kadar geniştir ki, birkaç kere çökmüştür. ayasofya’nın kendisi ise 3 kere inşa edilmiştir. antik dönemden kalan en iyi kalan büyük yapılardan biridir( inşaası 537 yılında bitmiştir).

    1453’te camiye dönüştürüldüğünde, kuşkusuzki tarihin en güzel camilerinden biri olmuştur. zaten bunu osmanlı mimarisindeki etkisinden de anlayabilirsiniz. klasik osmanlı mimarisinin temelinde ayasofya vardır: küçük kubbelerin büyük devasa bir kubbeyi desteklediği camiler.

    camiye dönüştürüldüğünde içindeki mozaiklere dokunulmamıştır bile. mozaiklerin üstü 18.inci yüzyıldan sonra kapatılmıştır.

    ayasofya herhangi bir dine ait olmak için fazla güzel bir yapı. istanbul, “city of world’s desire” olarak bilinir. ayasofya da istanbul’un kalbidir. ayasofya’nın müzeye çevrilmesi olabilecek en doğru karardı. böylece sembolik gücü bu kadar yüksek olan bir yapı sadece müslümanların veya ortodoksların mirası değil bütün insanlığın mirası haline geldi.

    ama ben bunları neden anlatıyorum ki ? tarihin, sanatın bir değeri mi kaldı ki ? ahh...

  • quantum kimyası final sınavı öncesi tanık olunmuş diyalogdur.

    +bitirim öğrenci: hocam istediğimiz sorudan başlayabilir miyiz ekieğ ehueh
    - profesor: herhangi bir sorudan başlayabileceğinizi düşünmüyorum.

  • kazıdayız. yaz vakti. 20 tane öğrenci, kazı evinde kalıyoruz. gündüz ne kadar yoğun çalışıyorsak, geceleri de aynı oranda içiyoruz. bozkırın ortasındaki kazı evinde, içki içmek için alternatifler belli... bazıları eski bir ilkokuldan bozma kazı evinin merdivenlerinde içiyor, bazıları bahçe duvarında, bazıları laboratuvarda, bazıları mutfakta.

    hepimiz rock dinliyoruz. kazıya iron maiden külliyatını getiren de var, teoman dinlerken kafa sallayıp kendisini metalci sayan da var. o sene, kazı uzadıkça uzadı. hoca "haftaya bitiriyoruz!" diyor, bir sonraki hafta, tekrar bir hafta uzatıyor kazıyı. yorgunluk artıyor. akşamları içerken neşelenenler, yavaştan hasrete düşüyor.

    çarşamba günleri izinliyiz. kazı evindeki müzik seti bozulmuş. sadece kasetçaları çalışıyor. birkaç kaset bakalım diye bir müzik markete giriyoruz arkadaşımla. raflarda, neşet ertaş'ın ondan fazla kasetinden oluşan best of serisi var.

    "neşet baba alsak iyi olur ama hangi birini alacağız!" diyorum.
    "para dayanmaz o kadar kasete." diyor arkadaşım.
    tezgahtar gençten bir eleman...
    "abi" diyor, "siz istediğiniz şarkıları seçin, ben size karışık bir kaset çekeyim."

    karışık kaset lafını duyunca yaşadığım nostaljiyi anlatamam. karışık kaset çekenlerin nesli tükendi sanıyordum ben. tarih öncesinden çıkagelen bir dinozora bakar gibi hayranlıkla bakıyorum kasetçiye. alıyoruz kağıdı kalemi...
    "çek baba bize bunları!" diyoruz.
    3 saat sonra uğrayıp alıyoruz kaseti.
    doksanlık, önlü arkalı neşet ertaş külliyatı.

    akşam kazı evindeyiz. diğerlerinden mutfağı bize bırakmalarını rica ediyoruz arkadaşla.
    "niye?" diyorlar.
    "biz neşet baba dinleyeceğiz." diyoruz.
    gülüyorlar bize.
    "sizin olsun mutfak.” diyorlar.

    ışıkları söndürüp kuruluyoruz mutfak masasına. biralarımızı açıp basıyoruz play tuşuna. uzatmayayım... iki saat içinde, kazı evindeki tüm öğrenciler yavaş yavaş toplanıyorlar mutfağa. kaseti birkaç defa dinledikten sonra, bir tarafın ilk şarkısı olan ah şu yalancı dünya'yı sürekli başa sararak tekrar tekrar dinlemeye başlıyoruz.

    iki kişi içmeye başladığımız mutfakta yirmi kişi oluyoruz.
    masaların üzerindeki boş bira şişelerinin üzerine mumlar dikiliyor.
    herkes teslim olmuş müziğe, kimse konuşmuyor.
    bazıları başını masaya dayamış, ağladığını göstermeden usulca ağlıyor.

    bozkırın çocuğu vuruyor sazın teline... o sazın teli, bozkırdaki çocukların yüreğine dokunuyor.

  • başlık: 32 yaşındayım 1.51 boyundayım

    komando olmak istiyorum bilen birisi yardım ederse çok sevinirim.

    2. yarın gel mermi olarak başla.

  • benimdir. bir alışveriş merkezinde okan bayülgen'in yanından geçerken adeta görmezden geldiğim eski sevgilimmiş gibi mağrur bir tavırla yanından geçmiş, tanımamazlıktan gelerek haddini bildirmiştim.