hilbert uzayı

• bu sabah uyandığımda kendimi hilbert uzayında buldum. nereye gideceğimi bilemedim. sağa dönsem bir türlü, sola dönsem başka türlü...içimi bir sıkıntı kapladı.
  
  birisi yanıma gelip "sen fonksiyon degilsin" dedi. ama dostlarım fonksiyon oldugu için ben de fonksiyon sayıldım o gün. sonraları ikindi sabah civarlarında şekilsiz birşey geldi yılıştı yanıma. soldan iç-çarpıverdim kerhaneciyi...üç oldu beş oldu gitti.
  
  hilbert uzayı çok zengin bir ülkeymiş. burada herkes donla dolaşıyor.
• diger uzaylarin aksine bu uzaydaki vektorlerin sonsuz sayida bileseni vardir. ornegin <2,3,5> r^3 uzayinda bir vektordur ve 3 bileseni vardir. bir vektorun hilbert uzayina dahil sayilabilmesi icin uzunlugunun tanimli olmasi gerekir <1,2,4,8,16,..> vektoru bu yuzden hilbert uzayina dahil degildir ama <1,1/2,1/4,1/8,...> vektoru dahildir cunku uzunlugu hesaplanabilir.
  
  (bkz: david hilbert)
• uzay bir noktalar kümesidir. bu kümenin elemanlarını diğer elemanları arasında aritmetik ilişki aslında onun nasıl bir uzay olduğunu söyler. örnek olarak bulunduğumuz öklit uzayini ele alalim. elemanları x,y,z noktalarıdır. bu noktalar için bazı kurallar ekliyelim.
  
  ilk kuralımız bu noktalar arasında uzaklık özelliği olsun buna "metrik" diyoruz. yani elemanları arasında uzaklık olan uzaylara metrik uzak diyoruz. bizim uzayımız metrik bir uzaydır.
  
  daha sonra uzayımızın elamanlarının bir merkezden olan uzaklıklarda olduğunu yani boyunun olduğu ve uzaklığı 0 olan elemanın 0 elamanı olduğu. ve elemanların sabit bir sayı ile çapımın sabit olarak elemanı boyununda büyüdüğü ve eki elemanın elemanın toplamın boylarının toplamında küçük olduğu kuralların olduğu uzayda norm vektor uzayıdır. norm uzay aynı zamanda metrik uzaydır. bizim uzayımız norm uzaydır.
  
  şimdi de başka bir özellik ekleyelim. noktalar bir birlerini ile nokta çarpımı yapılsın. çarpım arlarındaki açıya göre değişen bir sonucu olsun. bunda "inner product space" iç çarpım uzayı deriz. bizim de uzayımız böyledir. bu uzay aynı zamanda norm vektör uzaydır.
  
  şimdi iç çarpım uzayını genellersek yani uzaydaki noktaların sonsuz sayıda olduğunu (bizim uzayımızda sadece 3) olduğunu söylersek o zaman hilbert uzayını tanımlamış oluruz. hilbert uzayı aslında bir sablondur. bulunduğumuz uzay hilbert uzayının alt kümesidir. bu uzay genellemedir böyle uzayları kullanabileceğmiz alanlar yaratır.
  en ünlüsü de fourier analizidir. bu uzay sonsuz boyuta (frekansa)sahip bir periyodik fonksiyon uzayıdır.
• a (small) joke told in the hallways of mit ran, "do you know hilbert? no? then what are you doing in his space?"
  (s. a. vaughn, pers. comm., jul. 31, 2005).
• n boyutlu uzay kavramını getirmiş, kuantum fiziginden sonra baya döneminin klasik fizik'ine inananları baya sarsmış teorem.
• (bkz: banach uzayi)
• (bkz: oklid uzayi)
  (bkz: heine borel lebesgue teoremi)
  (bkz: sobolev uzayi)
  (bkz: riesz representation theorem)
• hilbert uzayi tamamen metrik bir uzaydir (vector uzayi icersinde yer alan norm'dan yola gelen bir donusumdur). finit-boyutlu hilbert uzayina ornek vermek gerekirse:
  1. gercek sayilar (inner product <a b>'de yer alan a ve b'nin vektor carpimi)
  2. kompleks sayilar (inner product <a b>'de yer alan a'nin vektor carpimi ve b'nin kompleks birlesigi (kompeks bir sayinin kompleks birlesigi (bkz: i sayisi) ile belirtilir)
• uzerinde bir ic carpim fonksiyonu tanimlanmis olup bu ic carpimin belirledigi norma gore tum cauchy dizilerinin uzayin bir elemanina yakinsadigi uzaylardir. ingilizce bir kaynakta kisaca 'complete inner product space' seklinde tanimlandigi gorulebilir. ilgili birkac baslik icin (bkz: tam metrik uzay), (bkz: ic carpim).
• aci ve diklik kavramlarini barindiran uzay. bu nedenle siradan metrik uzaylardan ustundur. optimizasyon falan yaparken pek bi kolaylik saglar. ornegin, ilkokuldan kalma dik uzaklik ya da izdusum mantigi ile uzay sonsuz boyutlu dahi olsa noktalarin altuzaylara minimum uzakligini rahatca bulursunuz.