integral

• ucundan kenarından anlayıp da hayran kalmamanın imkansız olduğu konu. işlevselliği zaten ortada; ama muğlaklığı işi bilimselliğin ötesine taşıyor; bir soruyla karşı karşıya geldiğiniz her aşamada "ne kadar yaratıcı olabilirsin, hafızandan gerekli bilgiyi nasıl çekebilirsin, olguları birbirine bağlayabilir misin, ya sen hakikaten kendini zeki mi sanıyorsun" sorularını kendinize yöneltmenize, çoğu zaman da hayal kırıklığına uğramanıza neden oluyor.
  
  şimdi iki dakika düşünelim. türevde kurallar ayan beyan ortada. zincir kuralı^* var, türevde çarpım kuralı^* var vs. bu ve diğer arkadaşlarını kullanarak her türev sorusu öyle ya da böyle çözülür, manuel olarak sonuca gidilemezse bile mevzuya hakimseniz gidişatı görmek çok zor değildir, bu anlamıyla türev bilimseldir. iş integrale gelince dalgalanmaya, bulanmaya başlar. her kural her yerde öyle şak diye uygulanamaz, kafayı gerçekten çalıştırmak gerekir: bu ifadeyi daha önce bir yerlerde gördüm mü, neye benzeştirerek çözebilirim, yerine şunu mu koysam, yok o da olmadı şöyle mi bölüp parçalasam, hay sikeyim beyin meyin yok bende soluduğum havayı ziyan ediyorum diye diye kafayı duvarlara patlatma isteği, peşi sıra gelen yok lan dur bir de şunu deneyeyim diyerek en başa dönme... böyle sonsuz bir döngüye sokan -birçok matematikçinin de dediği gibi- bilim temelli bir sanat integral. ortada nefis bir şey var seziyorum; ama tam olarak da anlayamıyorum. çok çalışmam gerek, çok.
  
  edit: matematik sevenler 3blue1brown youtube kanalını da severler bence. hatta matematikle alakanız yoksa da bir şans verin bu kanala, şahsen benim kurzgesagttan beri gördüğüm en güzel şey. (bkz: 3blue1brown/@istenc)
• bir gün matematik dersinde kurnaz öğrenci klasik eğitim sistemi sorgulamasını yapmak için hocasına; "iyide hocam bu integral hayatta ne işimize yarayacak? şart mı öğrenmemiz?"" der. bunun üzerine hocası tahtaya üç farklı grafik çizer. birinci grafikte y eksenindeki değer sabit utulmuştur ve bir dikdörtgen oluşmuştur. hoca dikdörtgenin alanını sorar ve öğrenci çok rahat bir şekilde cevaplandırır. ikinci grafikte hoca sabit artış gösteren bir grafik çizilmiştir ve üçgenin alanını öğrenciye sormuştur. öğrenci ilk soruda ki kadar rahat soruyu cevaplamıştır. son olarak hoca tahtaya yamuk yumuk bir grafik çizer. bu grafiğin altında kalan alanı sorar öğrencisine, ve öğrenci beklenildiği üzere cevap veremez. bunun üzerine hoca inanılmaz cevabını patlatır; "eğer hayatın hep sabit olursa ilk grafikteki gibi sonunda aynı noktada olacağını söyleyebilirim. eğer hep yükselen bir grafik gösterirsen hayatın sonununa kadar ne kadar yükseleceğini ve nerede olacağını söyleyebilirim. ama hayat son grafikte olduğu gibi inişler, çıkışlar kimi zamanda sabit duran zamanlarla doludur . işte bunun için integrali öğreniyorsun."
• kendisi sayasinde "iktisatçılar için matematik" dersini mart ayında 12. kez alacağım konu.
  
  edit: 92 liler gelmiş lan üniversiteye :(
• işareti zürefaya benziyo
• belirli, belirsiz, parcali vb. cesitleri olan oldukca kullanisli bir matematik konusudur. biraz zahmet edip, kafa yorulunca mantigi gayet rahat anlasilacak bir basliktir. cunku, aslina bakacak olursaniz bildiginiz toplama isleminden baska birsey degildir kendisi.
  
  integralin en temel ozelligi, birbirleri arasindaki bagintilari dogrusal olmayan bir veya birden fazla sayidaki degiskeni iceren ve bu yuzden yapilmasi imkansiz gorunen hesaplamalarda, sozkonusu bagintilari dogrusal parcalara ayirarak bunlari toplamasidir(bir nevi superposition). x degiskenine bagli olarak dalli budakli bir egri cizen bir y degiskeni dusunun. bu "y"nin grafiginin altinda kalan alan duzgun bir geometrik sekle benzemedigi icin, onu yukseklikle tabani carparak bulamazsiniz. sayet, sozkonusu alani minik karelere bolup, her karenin alanini hesaplayip sonra da toplarsaniz istediginize cok yakin bir deger elde edersiniz. karelerin kenar uzunluklari olarak sectiginiz araliklar sifira yaklastikca da,sonucunuz gercege daha yakinlasacaktir. integral dedigimiz sey ise, bu islemin, araliklarin minimize edildigi noktada yapilmasidir.
  
  yani integral karmasik olani basitlestirir, hayati kolaylastirir. bu vesileyle muhendislik hesaplamalarinin ve bilimsel kuramlarin olmazsa olmazi haline gelmistir. butun muhendislik derslerinde kendini gosterir. ben de bu yontemi her kullandigimda "vay be gavurun dolu yapmis iste!" diye takdir etmekten kendimi alamam. zira bu kadar basit bir yapiya sahip olup, bu kadar cok ise yarayan kavram azdir.
• integral sonsuz küçüklerin sonsuz toplamıdır.
  
  biraz kaba bir tanımla, dx ile gösterilen sonsuz küçük alan ise alan integrali, hacim ise hacim integrali, eğri uzunlugu ise eğrisel integral olarak anılır. üzerinde düşünmesi de tasarlaması da çok keyiflidir.
  
  işareti de sum'ın s'sinin uçlarından çekiştirilmişine benzer.
  
  bu arada, integral işaretini bir kemanın tek kenarına benzetme işi çok hoşuma gitti; gayet şairane bir yakıştırma, bulanına tebriklerimi sunarım.
• en kolay örnekleri "neyin türevini almışlar ki bu çıkmış?" tarzı humanist yaklaşımlarla bulunabilirken, konu ilerledikçe insanı bu acı ne zaman bitecek moduna sokabilen bir konudur.
• --- spoiler ---
  
  ƒ sinxdx = -cosx+ c
  
  --- spoiler ---
• guzel gunler mi gecti
  yoksa biz mi cirkinlestik
  adini koyamadigimiz hergun yeni bir sey var
  yesilmisik bir zamanlar
  kuruduk, koyu kahverengi
  tozu dumana katiyor yasam
  
  integralimi al abi
  limit sifira gider
  istedigini yap bana
  sessizlik sonsuzda nasil olsa
  
  babamin maasi 60ta bin lira
  benimkisi 83te tam otuzbin lira
  bugun artik milyoneriz
  ama ekmek aslanin agzinda
  turk lirasi dolar bazinda
  
  integralimi al abi
  limit sifira gider
  istedigini yap bana
  sessizlik sonsuzda nasil olsa
  
  birlestirmek icin ayriliyor insanlar
  eee? e si bu, politika hep boyle
  o gunler kirmiziydi
  simdi tumden alaca
  beyazin da beyazi dersen yani!
  
  integralimi al abi
  limit sifira gider
  istedigini yap bana
  sessizlik sonsuzda nasil olsa
  
  "calisan kazanir"di, oyle derdi buyukler
  la fontaine'in karincalari bile saskin
  havai mavi pek moda
  ya da hercai menekse
  ozet olarak kose donmece...
  
  integralimi al abi
  limit sifira gider
  istedigini yap bana
  sessizlik sonsuzda nasil olsa
• meger 1994'te yeniden ke$fedilmi$. bunu ke$feden tip kokenli ara$tirmaci dr. tai hemen bir makale basti, diabetes care dergisine yolladi ve google scholar'in dedigine gore 137 citation almi$ bu makalesi. uzun suredir hic bir $eye gulmedigim kadar anira anira guldum sayesinde. bu tip ve matematik dunyasini derinden sarsacak geli$meye "tai's model" adini koymu$ bir de adam. ahahaha... hani tabi ki takdir edilecek bir $ey ama kamon ya, yazdin, birilerine okuttun, derginin hakemleri okudu, basmaya deger buldu. bir allahin kulu da "hmmm egrinin altindaki alani hesaplama... bir yerden tanidik ama..." demedi mi? makale ba$lamadan once yapilan kaynak tarama kismina deginmiyorum bile... calculus lan!
  burada makale ve yazari icin hazirlanmi$ laflari bulabilirsiniz, geberdim gulmekten: http://fliptomato.wordpress.com/…gets-75-citations/
  bu arada, makalede yeniden ke$fedilen $ey trapezoidal rule denilen bir egrinin altindaki alani yamuklara ayirip bunlari toplayarak yakla$ik bir degere ula$ma. limit bilseydi integrali de bulurdu, tutmayin kucuk eni$teyi.
  diabetes care dergisiymi$, $ekerim firladi be!